Ejemplo de Binomio de Newton: Expansión de (a + b)^4

El binomio de Newton es una fórmula matemática utilizada para expandir potencias de binomios. Esta fórmula es muy útil en álgebra y cálculo, ya que nos permite simplificar y resolver expresiones de forma más sencilla. En este artículo, vamos a explorar un ejemplo detallado de la expansión de (a + b)^4 utilizando el binomio de Newton.

El Binomio de Newton

El binomio de Newton se representa de la siguiente manera:

(a + b)^n

Donde "a" y "b" son los términos del binomio, y "n" es el exponente al que se va a elevar el binomio.

La fórmula general del binomio de Newton es:

(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n

Donde "C(n,k)" representa los coeficientes binomiales, que se calculan utilizando el triángulo de Pascal.

Ejemplo de Expansión de (a + b)^4

Vamos a expandir la expresión (a + b)^4 utilizando el binomio de Newton.

El primer paso es calcular los coeficientes binomiales utilizando el triángulo de Pascal. En este caso, necesitamos los coeficientes para n = 4:

C(4,0) = 1
C(4,1) = 4
C(4,2) = 6
C(4,3) = 4
C(4,4) = 1

Ahora, vamos a aplicar la fórmula del binomio de Newton:

(a + b)^4 = C(4,0) * a^4 * b^0 + C(4,1) * a^3 * b^1 + C(4,2) * a^2 * b^2 + C(4,3) * a^1 * b^3 + C(4,4) * a^0 * b^4

Simplificando la expresión, obtenemos:

(a + b)^4 = 1 * a^4 * b^0 + 4 * a^3 * b^1 + 6 * a^2 * b^2 + 4 * a^1 * b^3 + 1 * a^0 * b^4

Finalmente, simplificamos los términos y obtenemos la expansión completa:

(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

El binomio de Newton es una herramienta poderosa que nos permite expandir potencias de binomios. En este artículo, hemos explorado un ejemplo detallado de la expansión de (a + b)^4 utilizando esta fórmula. A través de este ejemplo, hemos visto cómo calcular los coeficientes binomiales y simplificar la expresión final. El binomio de Newton es ampliamente utilizado en matemáticas y tiene numerosas aplicaciones en diferentes áreas, como el cálculo y la probabilidad.