Ejemplo del equilibrio de Nash: El dilema del prisionero

El equilibrio de Nash es un concepto fundamental en la teoría de juegos, que se refiere a una situación en la que ningún jugador puede mejorar su resultado individual cambiando su estrategia, siempre y cuando los demás jugadores mantengan sus estrategias. Para comprender mejor este concepto, analizaremos un ejemplo clásico de juego conocido como "El dilema del prisionero".

El dilema del prisionero

En este juego, dos prisioneros son arrestados por un crimen y son interrogados por separado. La policía no tiene suficientes pruebas para condenarlos por el crimen principal, pero sí por un delito menor. A cada prisionero se le ofrece un trato:

- Si ambos prisioneros se mantienen en silencio (cooperan), serán condenados a un año de prisión por el delito menor.
- Si un prisionero confiesa (traiciona) y el otro se mantiene en silencio, el que confiesa será liberado y el otro será condenado a diez años de prisión.
- Si ambos prisioneros confiesan, serán condenados a cinco años de prisión cada uno.

Análisis del juego

1. Estrategias y pagos:
En este juego, los prisioneros tienen dos estrategias posibles: cooperar (mantenerse en silencio) o traicionar (confesar). Los pagos se representan en años de prisión.

2. Matriz de pagos:
La matriz de pagos para este juego se puede representar de la siguiente manera:

| Cooperar (C) | Traicionar (T) |
----------|---------------|----------------|
Cooperar | -1, -1 | -10, 0 |
----------|---------------|----------------|
Traicionar | 0, -10 | -5, -5 |

3. Análisis del equilibrio de Nash:
Para encontrar el equilibrio de Nash en este juego, debemos examinar las estrategias dominantes de cada jugador. En este caso, no hay una estrategia dominante clara para ninguno de los prisioneros.

Si el prisionero A elige cooperar, el prisionero B tendría un incentivo para traicionar y ser liberado en lugar de cumplir un año de prisión. Lo mismo ocurre si el prisionero B elige cooperar y el prisionero A elige traicionar.

Si ambos prisioneros eligen traicionar, ninguno obtiene el mejor resultado posible, ya que podrían haber obtenido solo cinco años de prisión si hubieran cooperado.

Por lo tanto, en este caso, el equilibrio de Nash se encuentra en que ambos prisioneros elijan traicionar, ya que ninguna de las estrategias es dominante y no hay incentivos para cambiar de estrategia.

El ejemplo del dilema del prisionero ilustra cómo el equilibrio de Nash puede surgir en situaciones en las que dos jugadores deben tomar decisiones que afectan sus resultados individuales. Aunque ambos prisioneros podrían obtener un mejor resultado si cooperaran, el miedo a ser traicionados lleva a ambos a elegir traicionar, lo que resulta en un resultado subóptimo para ambos.

El equilibrio de Nash es un concepto importante en la teoría de juegos y tiene aplicaciones en diversas áreas, como la economía, la política y la biología evolutiva. Comprender cómo se alcanza y se mantiene el equilibrio de Nash es fundamental para analizar las interacciones estratégicas entre los jugadores y predecir los resultados de un juego determinado.