Ejemplo del método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones

El método de Gauss es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Fue desarrollado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss y es ampliamente utilizado en diversas áreas, como la física, la ingeniería y la economía. Este método se basa en la eliminación de variables para reducir el sistema de ecuaciones a uno más simple que pueda ser resuelto fácilmente.

Procedimiento del método de Gauss

El método de Gauss consta de los siguientes pasos:

Paso 1: Formar la matriz aumentada

El primer paso consiste en formar la matriz aumentada del sistema de ecuaciones. Esta matriz se obtiene al escribir los coeficientes de las variables y los términos independientes de cada ecuación en una matriz.

Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + y = 5
3x - 2y = 4

La matriz aumentada correspondiente sería:

[2 1 | 5]
[3 -2 | 4]

Paso 2: Convertir la matriz aumentada a una matriz escalonada

El segundo paso consiste en aplicar operaciones elementales de fila para convertir la matriz aumentada en una matriz escalonada. Las operaciones elementales de fila incluyen intercambiar filas, multiplicar una fila por una constante y sumar o restar filas.

Continuando con el ejemplo anterior, aplicamos las siguientes operaciones para obtener una matriz escalonada:

[2 1 | 5]
[3 -2 | 4] (Restamos 1.5 veces la primera fila de la segunda fila)
[0 -3.5 | -0.5] (Dividimos la segunda fila por -3.5)

Paso 3: Convertir la matriz escalonada a una matriz reducida por filas

El tercer paso consiste en aplicar operaciones elementales de fila para convertir la matriz escalonada en una matriz reducida por filas. En esta forma, todas las filas con ceros en la parte izquierda de la matriz se colocan en la parte inferior.

Continuando con el ejemplo anterior, aplicamos las siguientes operaciones para obtener una matriz reducida por filas:

[1 0 | 2] (Sumamos 0.5 veces la segunda fila a la primera fila)
[0 1 | 1] (Dividimos la primera fila por 2)

Ejemplo detallado

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss:

2x + y = 5
3x - 2y = 4

Paso 1: Formar la matriz aumentada:

[2 1 | 5]
[3 -2 | 4]

Paso 2: Convertir la matriz aumentada a una matriz escalonada:

[2 1 | 5]
[3 -2 | 4] (Restamos 1.5 veces la primera fila de la segunda fila)
[0 -3.5 | -0.5] (Dividimos la segunda fila por -3.5)

Paso 3: Convertir la matriz escalonada a una matriz reducida por filas:

[1 0 | 2] (Sumamos 0.5 veces la segunda fila a la primera fila)
[0 1 | 1] (Dividimos la primera fila por 2)

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es x = 2 y y = 1.

El método de Gauss es una herramienta poderosa para resolver sistemas de ecuaciones lineales. A través de la eliminación de variables y la aplicación de operaciones elementales de fila, podemos reducir el sistema a una forma escalonada y luego a una forma reducida por filas, lo que nos permite encontrar fácilmente la solución. Este método es ampliamente utilizado en diversas disciplinas y es fundamental para el estudio de las matemáticas aplicadas.